Stelle ich der reisenden Person die Rechnung, oder ihr?

Du. Du bist der Verkäufer: Der Vertrag über die Tour besteht zwischen dir und der reisenden Person, und wir sind ein Vermittler, der die Zahlung in deinem Auftrag einzieht.

Die reisende Person bekommt von uns eine nummerierte Zahlungsquittung über das, was wir von ihrer Karte abgebucht haben. Darauf stehst du als Verkäufer, dass wir das Geld für dich eingezogen haben, und dass sie eine Rechnung, die du selbst ausstellen musst, nicht ersetzt. Sie ist ein Beleg für die Zahlung, mehr nicht.

Karte, über uns: Die Quittung lautet über den ganzen Preis. Eine Anzahlung, den Rest nimmst du selbst: Die Quittung lautet nur über die Anzahlung, und das steht auch darauf. Was am Tag selbst zwischen dir und der reisenden Person übergeht, ist Sache von euch beiden.

Ob du eine eigene Rechnung ausstellen musst und wie sie aussehen muss, hängt davon ab, wo du bist und wie du angemeldet bist. Das ist eine Frage an deine Buchhaltung; wir können sie dir nicht beantworten.